Funktionen
Begriffe
Funktion
Eine Funktion ordnet jedem Element \(x\) einer Menge \(\mathbb{D}\) genau ein Element \(y\) einer Menge \(\mathbb{W}\) zu. \(\mathbb{D}\) heisst Definitionsmenge, \(\mathbb{W}\) heisst Wertemenge, \(x\) heisst Argument, Stelle oder Urbild und \(y\) heisst (dazugehöriger) Funktionswert oder Bild.
Darstellung einer Funktion
Die Definition einer Funktion ist abstrakt und sehr allgemein. Sie lässt verschiedene Möglichkeiten zu, wie wir diese Zuordnung der Stellen/Argumente zu ihren Funktionswerten aufzeigen können. Vier verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung einer solchen Zuordnung bist du bisher begegnet:
Machine
flowchart LR
A[4] --> B[x² + 1] --> A1[17]
C[-2] --> B --> C1[5]
D[3] --> B --> D1[10]
E[x] --> B --> E1[y]Wichtig
- \(x\) wird noch als Stelle, Argument oder Urbild genannt
- \(y\) wird noch als Funktionswert oder Bild genannt
Wertetabelle
| x | 4 | -2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 17 | 5 | 10 |
Funktionsgraph
Bemerkungen zur Funktionsgleichung
Man kann eine Funktionsgleichung auf verschiedene Arten notieren. Die folgenden Schreibweisen bedeuten alle das gleiche. Die ersten vier davon sollten dir geläufig sein (werden).
- \(y = x^2\)
- \(f(x) = x^2\) (\(f\) ist der Name der Funktion, nützlich zur Unterscheidung mehrerer Funktionen)
- \(y = f(x) = x^2\)
- \(f: x \to x^2\)
- \(f: x \to y = f(x) = x^2\)
- \(f: x^2 - y = 0\) (implizierte form)
Um z.B. den Funktionswert 𝑦 für das konkrete Argument/Stelle 𝑥 = 3 zu bestimmen, schreibt man in den verschiedenen Schreibweisen:
- \(y = 3^2\) (=9)
- \(f(3) = 3^2\) (=9)
- \(y = f(3) = 3^2\) (=9)
- \(f: 3 \to 3^2\) (=9)
- \(f: 3 \to y = f(3) = 3^2\) (=9)
- \(f: 3^2 - y = 0\) (also \(y\)=9)
Bemerkungen zum Funktionsgraph
Der Funktionsgraph besteht im Normalfall aus unendlich vielen Punkten \((x|f(x))\). Jeder dieser Punkte zeigt für ein bestimmtes 𝑥, welches \(y = f(x)\) diesem zugeordnet wird. Es ist unmöglich, alle diese Punkte einzeln einzuzeichnen. Anhand von ein paar wenigen Punkten können wir uns aber meistens die Lage aller restlichen Punkte überlegen.
Eigenschaften
Nullstelle
Definition
Ein Argument/Stelle \(x_N\) mit \(f(x_N) = 0\) heisst Nullstelle.
Satz
Der Funktionsgraph schneidet die \(x\)-Achse bei den Nullstellen.
\(y\)-Achsenabschnitt
Definition
Der Wert \(f(0)\) heisst \(y\)-Achsenabschnitt.
Satz
Der Funktionsgraph von \(f\) schneidet beim Wert \(f(0)\) die \(y\)-Achse.
Definitionsmenge
Definition
In der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) stehen alle Argumente/Stellen \(x\), für welche genau ein \(f(x)\) berechnet werden kann.
Definitionslücke
Definition
Ein Argument/Stelle \(x_L\), für welches \(f(x_L)\) nicht berechnet werden kann, heisst Definitionslücke.
Satz
Eine Definitionslücke gehört nicht zur Definitionsmenge.
Satz
Der Funktionsgraph hat an der Stelle/Argument \(x_L\) ein Loch.
Symmetrien
Definitionen
Eine Funktion \(f\) ist gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.
Eine Funktion \(f\) ist ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Satz
Der Funktionsgraph von \(f\) ist genau dann achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(f(x) = f(-x)\) für alle \(x\) aus \(\mathbb{D}\)
Satz
Der Funktionsgraph von \(f\) ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(f(x) = -f(-x)\) für alle \(x\) aus \(\mathbb{D}\)
Umkehrbarkeit
Definition
Eine Funktion \(f\) ist umkehrbar, wenn jedem Funktionswert \(y\) genau ein Argument \(x\) zugeordnet werden kann.
Funktionstypen
Definition
Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion hat die Form:
Definition
Die Funktionsgleichung einer Wurzelfunktion hat die Form
Definition
Die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion hat die Form
Lineare und quadratische Funktionen hast du in der 3. Klasse kennengelernt. Beides sind
Polynomfunktionen. Eine lineare Funktion ergibt sich, wenn \(a_2 = a_3 = ... = 0\). Ihre
Funktionsgleichung hat also die Form \(y = f(x) = a_0 + a_1x\). Für eine quadratische Funktion ist \(a_3 = a_4 = ... = 0\). Ihre Funktionsgleichung hat daher die Form \(y = f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2\).
Definition
Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion hat die Form
(Quotient zweier Polynomfunktionen).
Definition
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion hat die Form
Definition
Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion hat die Form
Definition
Die Funktionen mit den Funktionsgleichungen
sind trigonometrische Funktionen.
Definition
Aus zwei Funktionen \(f\) und \(g\) lassen sich neue Funktionen bilden. Deren Funktionsgleichungen entstehen z.B. durch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Verknüpfen, … der Funktionsgleichungen von \(f\) und \(g\). Die neue Funktion bezeichnen wir als zusammengesetzte Funktion.