Eine neue Funktionseigenschaft: Die Ableitung
Der Differenzenquotient
Definition
Der Differenzenquotient ist der Term:
\[
\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
\]
Wichtig
- Er beschreibt die Steigung der Sekante, die durch zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion geht.
- Zum Beispiel ist \(\frac{f(2+6)-f(2)}{6}\) die Steigung der Geraden durch die Punkte \((2|f(2))\) und \((2+6|f(2+6))\).
- Der Zähler \(f(x_0+h)-f(x_0)\) ist die Zunahme des y-Wertes, wenn der x-Wert um h vergrössert wird.
- Der Nenner \(h\) ist die Veränderung des x-Wertes.
Der Differentialquotient
Definition
Der Differentialquotient ist der Term:
\[
\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
\]
Wichtig
- Das Symbol \(\lim_{h\to0}\) (Limes) bedeutet, dass sich der Wert von h der Zahl 0 unendlich annähert.
- Der Differentialquotient ist die momentane Änderungsrate einer Funktion an der Stelle \(x_0\).
- Er wird auch als die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle \(x_0\) bezeichnet.
- Seine Notation ist \(f'(x_0)\).
- Der Wert dieses Terms entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen von f im Punkt \((x_0|f(x_0))\).