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Zusammenfassung Kreisbewegungen

Bogenmass

b α 0° 90° 180° 270° 0 π/2 π 3π/2

Definition

\[ \alpha = \frac{b}{r} \]

\(\alpha\) : Winkel in rad
\(b\) : Bogenlänge
\(r\) : Radius
Einheit: \(rad\)

Umrechnungen

\[ \alpha[rad] = \alpha[°] \cdot \frac{\pi}{180} \]
\[ \alpha[°] = \alpha[rad] \cdot \frac{180}{\pi} \]

Gleichförmige Kreisbewegungen

Definition

In gleichen Zeitabschnitten werden gleiche Winkel überschritten.
Radius: konstant
\(|v^{→}| =\) konstant

Periodendauer / Umlaufdauer \(T\)

Definition

Zeitdauer für einen vollen Umlauf
Formelzeichen: \(T\)
Einheit: \([T] = 1s\)

Frequenz \(f\)

Definition

Anzahl Umläufe pro Sekunde
Formelzeichen: \(f\)
Einheit: \([f] = 1s⁻¹ = 1Hz\) (Hertz)

\[ f = \frac{\text{Anzahl Umläufe}}{\text{benötigte Zeit}} = \frac{N}{t} \]

Für \(N = 1\) sieht man

\[ f=\frac{1}{T} \]
\[ T=\frac{1}{f} \]

Bahngeschwindigkeit \(v\)

Definition

\[ v = \frac{\text{zurückgelegte Strecke}}{\text{benötigte Zeit}} = \frac{s}{t} \]

Formelzeichen: \(v\)
Einheit: \([v] = 1\frac{m}{s}\)

Für 1 Umlauf:

\[ v = \frac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r f \]

Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)

Definition

\[ \omega = \frac{überstreichener Winkel}{benötigte Zeit} = \frac{\phi}{t} \]

Formelzeichen: \(\omega\) omega
Einheit: \([\omega] = 1\frac{rad}{s}\) = oder nur \(1s^{-1}\)

Für 1 Umlauf:

\[ \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f \]

Winkelbeschleunigung

Definition

\[ \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \to \text{bei uns } =0 \]

Zentripetalbeschleunigung (ohne Herleitung)

Definition

Auf einer Kreisbahn ändert die Richtung der Geschwindigkeit andauernd. Das führt zu einer Beschleunigung \(a_z = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

Es gilt:

\[ a_z = \frac{v^2}{r} = \omega ^2 \cdot r \]

Einheit: \([a_z] = 1 \frac{m}{s ^ 2}\)

Wichtig

Die Richtung von \(a_z\) zeigt zum Kreismittelpunkt!

Zentripetalkraft

Definition

Aus dem 2. Newton’schen Axion (\(F^{→} = m \cdot a^{→}\)) folgt:

\[ F_z = m \cdot a_z = m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot \omega ^2 \cdot r \]

Einheit: \([F_z] = N\)

Wichtig

Die Zentripetalkraft ist keine neue Art von Kraft. Es ist nur ein Name für eine Kraft, die notwendig ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten.

Beispiele

  • Seilkraft (Hammerwerfen)
  • Kontaktkraft (Schienen)
  • Reibungskraft (Auto)
  • Gravitation (Planeten)

Beispiel: Kreisender Wasser Eimer

Legende

  • Gelber Pfeil: Seilkraft \(F_S\)
  • Blauer Pfeil: Gewichtskraft \(F_G\)

Im obersten Punkt gilt:

\[ F_G = F_z \]
\[ m \cdot g = m \cdot \omega \cdot r \]
\[ \cancel{m} \cdot g = \cancel{m} \cdot (2 \pi f)^2 \cdot r \]
\[ f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}} \]

Für \(r = 0.8m \to f = 0.6Hz\)

Kreisbewegungen durch Schrägstellung

Kettenkarussell:

FS FG Fres α
\[ F_{res}^→ = F_G^→ + F_S^→ = F_z^→ \]
\[ F_z = F_G \cdot tan(\alpha) \]